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(2009•恩施州)恩施州自然風光無限,特別是以“雄、奇、秀、幽、險”著稱于世.著名的恩施大峽谷(A)和世界級自然保護區星斗山(B)位于筆直的滬渝高速公路X同側,AB=50km,A、B到直線x的距離分別為10km和40km,要在滬渝高速公路旁修建一服務區P,向A、B兩景區運送游客.小民設計了兩種方案,圖(1)是方案一的示意圖(AP與直線X垂直,垂足為P),P到A、B的距離之和S1=PA+PB,圖(2)是方案二的示意圖(點A關于直線X的對稱點是A',連接BA'交直線X于點P),P到A、B的距離之和S2=PA+PB.
(1)求S1、S2,并比較它們的大小;
(2)請你說明S2=PA+PB的值為最小;
(3)擬建的恩施到張家界高速公路Y與滬渝高速公路垂直,建立如圖(3)所示的直角坐標系,B到直線Y的距離為30km,請你在X旁和Y旁各修建一服務區P、Q,使P、A、B、Q組成的四邊形的周長最小.并求出這個最小值.

【答案】分析:(1)根據勾股定理分別求得S1、S2的值,比較即可;
(2)在公路上任找一點M,連接MA,MB,MA',由軸對稱知MA=MA,∴MB+MA=MB+MA'>A'B,∴S2=BA'為最小;
(3)過A作關于X軸的對稱點A',過B作關于Y軸的對稱點B',連接A'B',交X軸于點P,交Y軸于點Q,求出A'B'的值即可.
解答:解:(1)圖(1)中過B作BC⊥X于C,垂足為C;AD⊥BC于D,垂足為D,
則BC=40,
又∵AP=10,
∴BD=BC-CD=40-10=30.
在△ABD中,AD==40,
在Rt△PBC中,
∴BP=
S1=
圖(2)中,過B作BC⊥AA′垂足為C,則A′C=50,
又∵BC=40,
∴BA'=
由軸對稱知:PA=PA',
∴S2=BA'=
∴S1>S2

(2)如圖(2),在公路上任找一點M,連接MA,MB,MA',由軸對稱知MA=MA',
∴MB+MA=MB+MA'>A'B,
∴S2=BA'為最小.

(3)過A作關于X軸的對稱點A',過B作關于Y軸的對稱點B',
連接A'B',交X軸于點P,交Y軸于點Q,則P,Q即為所求.
過A'、B'分別作X軸、Y軸的平行線交于點G,
B′G=40+10=50,A′G=30+30+40=100,
A'B'=
∴AB+AP+BQ+QP=AB+A′P+PQ+B′Q=50+50
∴所求四邊形的周長為
點評:此題考查了線路最短的問題,確定動點為何位置是關鍵,綜合運用勾股定理的知識.
練習冊系列答案
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