Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點D，將△ADC繞點A順時針旋轉，使AC與AB重合，點D落在點E處，AE的延長線交CB的延長線于點M，EB的延長線交AD的延長線于點N．
求證：AM=AN．

Answer 1

【答案】分析：根據旋轉的性質可得△AEB和△ADC全等，根據全等三角形對應角相等可得∠EAB=∠CAD，∠EBA=∠C，再結合等腰三角形三線合一的性質即可推出∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA，從而推出∠MBA=∠NBA，然后根據“角邊角”證明△AMB和△ANB全等，根據全等三角形對應邊相等即可得證．
解答：證明：∵△AEB由△ADC旋轉而得，
∴△AEB≌△ADC，
∴∠EAB=∠CAD，∠EBA=∠C，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABC=∠C，
∴∠EAB=∠DAB，
∠EBA=∠DBA，
∵∠EBM=∠DBN，
∴∠MBA=∠NBA，
在△AMB和△ANB中，，
∴△AMB≌△ANB（ASA），
∴AM=AN．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，旋轉變換的性質，等腰三角形三線合一的性質，證明邊相等，通常利用證明兩邊所在的三角形全等進行證明．