Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)A，C在坐標(biāo)軸上，OA=60cm，OC=80cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以5cm/s的速度沿x軸勻速向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C即停止，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts。

（1）過(guò)點(diǎn)P作對(duì)角線OB的垂線，垂足為點(diǎn)T，求PT的長(zhǎng)y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（2）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)O關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)O'恰好落在對(duì)角線OB上時(shí)，求此時(shí)直線AP的函數(shù)解析式；
（3）探索：以A，P，T三點(diǎn)為頂點(diǎn)的△APT的面積能否達(dá)到矩形OABC面積的？請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）在矩形OABC中， ∵OA=60，OC=80， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴y=PT=3t， 當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)即停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)t的最大值為， 所以，t的取值范圍是； （2）當(dāng)O點(diǎn)關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)O′恰好在對(duì)角線OB上時(shí)， A，T，P三點(diǎn)應(yīng)在一條直線上（如答圖2）， ∴， ∴， ∴， ∴OP=45， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（45，0）， 設(shè)直線AP的函數(shù)解析式為y=kx+b， 將點(diǎn)A（0，60）和點(diǎn)P（45，0）代入解析式， 得，解這個(gè)方程組，得， ∴此時(shí)直線AP的函數(shù)解析式是； （3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，三點(diǎn)在一條直線上， 此時(shí)點(diǎn)不構(gòu)成三角形； 故分兩種情況 （i）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)T位于△AOP的內(nèi)部（如圖3）， 過(guò)A點(diǎn)作AE⊥OB，垂足為點(diǎn)E，由， 可得AE=48， ∴ =， 若，則應(yīng)有， 即， 此時(shí)，所以該方程無(wú)實(shí)數(shù)根， 所以，當(dāng)時(shí)，以A，P，T為頂點(diǎn)的△APT的面積不能達(dá)到矩形OABC面積的； （ii）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)T位于△AOP的外部（如圖4）， 此時(shí)， 若，則應(yīng)有，即， 解這個(gè)方程，得（舍去）， 由于， ∴， 而此時(shí)，所以也不符合題意，故舍去， 所以，當(dāng)時(shí)，以A，P，T為頂點(diǎn)的△APT的面積也不能達(dá)到矩形OABC面積的， 綜上所述，以A，P，T為頂點(diǎn)的△APT的面積不能達(dá)到矩形OABC面積的。