Question

已知關于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0，a＞0，b＞0．
（1）若方程有實數根，試確定a，b之間的大小關系；
（2）若a：b=2：，且2x₁-x₂=2，求a，b的值；
（3）在（2）的條件下，二次函數y=x²+2ax+b²的圖象與x軸的交點為A、C（點A在點C的左側），與y軸的交點為B，頂點為D．若點P（x，y）是四邊形ABCD邊上的點，試求3x-y的最大值．

Answer 1

解：（1）∵關于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0有實數根，
∴△=（2a）²-4b²≥0，
有a²-b²≥0，
（a+b）（a-b）≥0．
∵a＞0，b＞0，
∴a+b＞0，a-b≥0．
∴a≥b．

（2）∵a：b=2：，
∴設．
解關于x的一元二次方程x²+4kx+3k²=0，得x=-k或-3k．
當x₁=-k，x₂=-3k時，由2x₁-x₂=2得k=2．
當x₁=-3k，x₂=-k時，由2x₁-x₂=2得（不合題意，舍去）．
∴．

（3）當時，
二次函數y=x²+8x+12與x軸的交點坐標分別為A（-6，0）、C（-2，0），
與y軸交點坐標為B（0，12），頂點坐標D為（-4，-4）．
設z=3x-y，則y=3x-z．
畫出函數y=x²+8x+12和y=3x的圖象，若直線y=3x平行移動時，如圖
可以發現當直線經過點C時符合題意，此時最大z的值等于-6
分析：（1）根據方程有實數根可以得到其根的判別式為非負數，然后再根據a＞0，b＞0作出判斷即可；
（2）利用a與b的比值分別設出a和b，利用根與系數的關系用設出的未知數表示出方程的兩個解，代入的2x₁-x₂=2中求得a與b的值即可；
（3）將上題中求得的a與b的值代入到函數中確定函數的解析式，然后求得與x軸的交點坐標，與y軸的交點坐標和頂點坐標，據此可以求出3x-y的最大值．
點評：本題考查了函數綜合知識，函數綜合題是初中數學中覆蓋面最廣、綜合性最強的題型．近幾年的中考壓軸題多以函數綜合題的形式出現．解決函數綜合題的過程就是轉化思想、數形結合思想、分類討論思想、方程思想的應用過程．