Question

如圖，已知△ABC內接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD為⊙O的直徑，AD=6，則BC的長為（　　）

• A．2

  3

• B．6
• C．2

  6

• D．3

  3

Answer 1

分析：首先過點O作OF⊥BC于F，由垂徑定理可得BF=CF=

1

2

BC，然后由∠BAC=120°，AB=AC，利用等邊對等角與三角形內角和定理，即可求得∠C與∠BAC的度數，由BD為⊙O的直徑，即可求得∠BAD與∠D的度數，又由AD=6，即可求得BD的長，繼而求得BC的長．

解答：解：過點O作OF⊥BC于F，
∴BF=CF=

1

2

BC，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠C=∠ABC=

180°-∠BAC

2

=30°，
∵∠C與∠D是

AB

對的圓周角，
∴∠D=∠C=30°，
∵BD為⊙O的直徑，
∴∠BAD=90°，
∴∠ABD=60°，
∴∠OBC=∠ABD-∠ABC=30°，
∵AD=6，
∴BD=

AD

cos30°

=

6

3 2

=4

3

，
∴OB=

1

2

BD=2

3

，
∴BF=OB•cos30°=2

3

×

3

2

=3，
∴BC=6．
故選B．

點評：此題考查了圓周角定理、垂徑定理、等腰三角形的性質、直角三角形的性質以及特殊角的三角函數值等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用，注意準確作出輔助線．