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【題目】已知在△ABC中,ABAC,∠BACα,直線l經過點A(不經過點B或點C),點C關于直線l的對稱點為點D,連接BDCD.

(1)如圖1

①求證:點BCD在以點A為圓心,AB為半徑的圓上.

②直接寫出∠BDC的度數(用含α的式子表示)______.

(2)如圖2,當α60°時,過點DBD的垂線與直線l交于點E,求證:AEBD.

(3)如圖3,當α90°時,記直線lCD的交點為F,連接BF.將直線l繞點A旋轉,當線段BF的長取得最大值時,直接寫出tanFBC的值.

【答案】(1)①證明見解析;②(2)證明見解析;(3)tanFBC.

【解析】

1由線段垂直平分線的性質可得ADACAB,即可證點BCD在以點A為圓心,AB為半徑的圓上;

由圓周角定理可得∠BAC2∠BDC,可求∠BDC的度數;

2)連接CE,由題意可證△ABC△DCE是等邊三角形,可得ACBC∠DCE60°∠ACBCDCE,根據“SAS”可證△BCD≌△ACE,可得AEBD

3)取AC的中點O,連接OBOFBF,由三角形的三邊關系可得,當點O,點B,點F三點共線時,BF最長,根據等腰三角形的性質和勾股定理可求,OHHCBH3HC,即可求tan∠FBC的值.

證明:(1如圖1,連接DA

C關于直線l的對稱點為點D

∴ADAC,且ABAC

∴ADABAC

BCD在以點A為圓心,AB為半徑的圓上;

②∵BCD在以點A為圓心,AB為半徑的圓上,

∴∠BDC

2)如圖2,連接CE

∵∠BAC60°ABAC

∴△ABC是等邊三角形,

∴BCAC∠ACB60°

∵∠BDC

∴∠BDC30°

∵BD⊥DE

∴∠CDE60°

C關于直線l的對稱點為點D

∴DECE,且∠CDE60°

∴△CDE是等邊三角形,

∴CDCEDE∠DCE60°∠ACB

∴∠BCD∠ACE,且ACBCCDCE

∴△BCD≌△ACE(SAS)

∴BDAE

3)如圖3,取AC的中點O,連接OBOFBF

△BOF中,BO+OF≥BC

當點O,點B,點F三點共線時,BF最長,

如圖,過點OOH⊥BC

∵∠BAC90°ABAC

∴BCAC∠ACB45°

∴∠COH∠HCO45°

∴OHHC

∴OCHC

OAC中點,

∴AC2HC

∴BC4HC

∴BHBCHC3HC

∴tan∠FBC.

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