Question

如圖，在直角坐標系中，以點A（

3

，0）為圓心，以2

3

為半徑的圓與x軸交于B、C兩點，與y軸交于D、E兩點．
（1）求D點坐標．
（2）若B、C、D三點在拋物線y=ax²+bx+c上，求這個拋物線的解析式．
（3）若⊙A的切線交x軸正半軸于點M，交y軸負半軸于點N，切點為P，∠OMN=30°，試判斷直線MN是否經過所求拋物線的頂點？說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AD，構造直角三角形解答，在直角△ADO中，OA=

3

，AD=2

3

，根據勾股定理就可以求出AD的長，求出D的坐標．
（2）求出B、C、D的坐標，用待定系數法設出一般式解答；
（3）求出拋物線交點坐標，連接AP，則△APM是直角三角形，且AP等于圓的半徑，根據三角函數就可以求出AM的長，已知OA，就可以得到OM，則M點的坐標可以求出；同理可以在直角△BNM中，根據三角函數求出BN的長，求出N的坐標，根據待定系數法就可以求出直線MN的解析式．將交點坐標代入直線解析式驗證即可．

解答：解：（1）連接AD，得
OA=

3

，AD=2

3

∴OD=

AD2-OA2

=

(2 3 )2-( 3 )2

=3
∴D（0，-3）．

（2）由B（-

3

，0），C（3

3

，0），D（0，-3）三點在拋物線y=ax²+bx+c上，
得

0=3a- 3 b+c 0=27a+3 3 b+c -3=c

，
解得

a= 1 3 b=- 2 3 3 c=-3

∴拋物線為y=

1

3

x2-

2

3

3

x-3．

（3）連接AP，在Rt△APM中，∠PMA=30°，AP=2

3

∴AM=4

3

∴M（5

3

，0）
∵ON=MO•tan30°=5

3

•

3

3

=5
∴N（0，-5）
設直線MN的解析式為y=kx+b，由于點M（5

3

，0）和N（0，-5）在直線MN上，
則

5 3 k+b=0 b=-5

，
解得

b=-5 k= 3 3

∴直線MN的解析式為y=

3

3

x-5
∵拋物線的頂點坐標為（

3

，-4），
當x=

3

時，y=

3

3

x-5=

3

3

×

3

-5=-4
∴點（

3

，-4）在直線y=

3

3

x-5上，
即直線MN經過拋物線的頂點．

點評：此題將用待定系數法求函數解析式和圓以及存在性問題相結合，考查了同學們的實際應用能力，有一定難度．