Question

（2010•長沙）已知：AB是⊙O的弦，D是的中點，過B作AB的垂線交AD的延長線于C．
（1）求證：AD=DC；
（2）過D作⊙O的切線交BC于E，若DE=EC，求sinC．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BD，根據圓周角定理求出∠A=∠ABD，即AD=BD，再根據直角三角形的性質通過等量代換即可求出△BCD是等腰三角形，根據等腰三角形的性質即可解答．
（2）連接OD交AB于F，根據切線的性質可知OD⊥DE，由D是的中點可知AB⊥OD，四邊形FBED為矩形，再根據直角三角形的性質可求出△BDC是等腰三角形，可求出BE=EC=DE，∠C=45°，再根據特殊角的三角函數值解答即可．
解答：（1）證明：連BD，
∵，
∠A=∠ABD，
∴AD=BD；（2分）
∵∠A+∠C=90°，∠DBA+∠DBC=90°，
∴∠C=∠DBC，
∴BD=DC，
∴AD=DC．（4分）

（2）解：連接OD交AB于F，
∵DE為⊙O切線，
∴OD⊥DE；（5分）
∵，OD過圓心，
∴OD⊥AB；
又∵AB⊥BC，
∴四邊形FBED為矩形，
∴DE⊥BC；（6分）
又∵BD=DC，
∴BE=EC=DE，
∴△BCD為等腰直角三角形，
∴∠C=45°；（7分）
∴sinC=．（8分）
點評：此類題目比較復雜，解答此類題目的關鍵是作出輔助線，根據切線的性質及圓周角定理解答．