Question

（2010•長沙）已知：二次函數y=ax²+bx-2的圖象經過點（1，0），一次函數圖象經過原點和點（1，-b），其中a＞b＞0且a、b為實數．
（1）求一次函數的表達式（用含b的式子表示）；
（2）試說明：這兩個函數的圖象交于不同的兩點；
（3）設（2）中的兩個交點的橫坐標分別為x₁、x₂，求|x₁-x₂|的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）一次函數經過原點，說明這個一次函數是正比例函數，將點（1，-b）的坐標代入，即可求得這個一次函數的表達式．
（2）將點（1，0）代入拋物線的解析式中，可得到a、b的關系式，用b替換掉a后聯立一次函數的解析式，可得到一個關于x的一元二次方程，判斷方程的根的判別式是否大于0即可．
（3）由題意知：x₁、x₂是（2）題所得一元二次方程的兩個實數根，根據韋達定理即可求得|x₁-x₂|的表達式，然后根據a、b的符號以及（2）題所得a、b的關系式即可得到|x₁-x₂|的取值范圍．
解答：解：（1）∵一次函數過原點，
∴設一次函數的解析式為y=kx；
∵一次函數過（1，-b），
∴y=-bx．（3分）

（2）∵y=ax²+bx-2過（1，0），即a+b=2，（4分）
∴b=2-a．
由，得：（5分）
ax²+bx-2=-bx，
∴ax²+（2-a）x-2=-（2-a）x，
∴ax²+2（2-a）x-2=0①；
∵△=4（2-a）²+8a=16-16a+4a²+8a=4（a²-2a+1）+12=4（a-1）²+12＞0，
∴方程①有兩個不相等的實數根，
∴方程組有兩組不同的解，
∴兩函數圖象有兩個不同的交點．（6分）

（3）∵兩交點的橫坐標x₁、x₂分別是方程①的解，
∴x₁+x₂=-，∴x₁+x₂=-，；
∴=；
（或由求根公式得出）（8分）
∵a＞b＞0，a+b=2，
∴2＞a＞1；
令函數，
∵在1＜a＜2時，y隨a增大而減�。�
∴；（9分）
∴，
∴．（10分）
點評：此題主要考查的是函數圖象交點、根與系數的關系、二次函數的性質以及不等式的應用，能夠結合二次函數的性質來解不等式是解決（3）題的關鍵．