Question

把一副三角板如圖甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜邊AB=6cm，DC=7cm把三角板DCE繞點C順時針旋轉15°得到△D₁CE₁（如圖乙）．這時AB與CD₁相交于點O，與D₁E₁相交于點F．
（1）求∠OFE₁的度數；
（2）求線段AD₁的長；
（3）若把三角形D₁CE₁繞著點C順時針再旋轉30°得△D₂CE₂，這時點B在△D₂CE₂的內部，外部，還是邊上？證明你的判斷．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據OFE₁=∠B+∠1，易得∠OFE₁的度數；
（2）在Rt△AD₁O中根據勾股定理就可以求得AD₁的長；
（3）設BC（或延長線）交D₂E₂于點P，Rt△PCE₂是等腰直角三角形，就可以求出CB的長，判斷B在△D₂CE₂內．
解答：解：（1）如圖所示，∠3=15°，∠E₁=90°，
∴∠1=∠2=75°，
又∵∠B=45°，
∴∠OFE₁=∠B+∠1=45°+75°=120°；

（2）∵∠OFE₁=120°，
∴∠D₁FO=60°，
∵∠CD₁E₁=30°，
∴∠4=90°，
又∵AC=BC，∠A=45°
即△ABC是等腰直角三角形．
∴OA=OB=AB=3cm，
∵∠ACB=90°，
∴CO=AB=×6=3cm，
又∵CD₁=7cm，
∴OD₁=CD₁-OC=7-3=4cm，
在Rt△AD₁O中，cm；

（3）點B在△D₂CE₂內部，
理由如下：設BC（或延長線）交D₂E₂于點P
則∠PCE₂=15°+30°=45°，
在Rt△PCE₂中，CP=CE₂=，
∵，即CB＜CP，
∴點B在△D₂CE₂內部．
點評：本題主要考查了圖形旋轉的性質，正確認識旋轉角，理解旋轉的概念是解題的關鍵．