Question

24、如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，
（1）用直尺和圓規(guī)作出∠CBA的平分線BE，交直角邊AC于E；（保留作圖痕跡）
（2）沿BE折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)C與AB邊上的一點(diǎn)D重合．當(dāng)∠A滿足什么條件時(shí)，點(diǎn)D恰好為AB的中點(diǎn)？利用此條件證明D為AB的中點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）①以點(diǎn)B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，與AB、BC交于M、N兩點(diǎn)，②分別以M、N為圓心，以大于$frac{1}{2}$MN的長(zhǎng)畫弧，兩弧交于P點(diǎn)，③連接BP交AC與E點(diǎn)；
（2）點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，即DE垂直平分AB，則∠A=∠EBA，由折疊可知∠EBA=∠EBC，而∠A+∠EBA+∠EBC=90°，從而可求∠A．

解答：解：（1）如圖所示．

（2）①由折疊可知，∠EBA=∠EBC，
當(dāng)D為AB的中點(diǎn)時(shí)，DE垂直平分AB，
根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知，∠A=∠EBA，
在Rt△ABC中，∠A+∠CBA=90°，
即∠A+∠EBA+∠EBC=90°，即∠A=30°，
所以，當(dāng)∠A=30°時(shí)，點(diǎn)D恰好為AB的中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等．