Question

如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD．
（1）求證：CD²=CA•CB；
（2）求證：CD是⊙O的切線；
（3）過點B作⊙O的切線交CD的延長線于點E，若BC=12，tan∠CDA=，求BE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過相似三角形（△ADC∽△DBC）的對應邊成比例來證得結論；
（2）如圖，連接OD．欲證明CD是⊙O的切線，只需證明CD⊥OA即可；
（3）通過相似三角形△EBC∽△ODC的對應邊成比例列出關于BE的方程，通過解方程來求線段BE的長度即可．
解答：（1）證明：∵∠CDA=∠CBD，∠C=∠C，
∴△ADC∽△DBC，
∴=，即CD²=CA•CB；

（2）證明：如圖，連接OD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠1+∠3=90°．
∵OA=OD，
∴∠2=∠3，
∴∠1+∠2=90°．
又∠CDA=∠CBD，即∠4=∠1，
∴∠4+∠2=90°，即∠CDO=90°，
∴OD⊥OA．
又∵OA是⊙O的半徑，
∴CD是⊙O的切線；

（3）解：如圖，連接OE．
∵EB、CD均為⊙O的切線，
∴ED=EB，OE⊥DB，
∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，
∴∠ABD=∠OEB，
∴∠CDA=∠OEB．
而tan∠CDA=，
∴tan∠OEB==，
∵Rt△CDO∽Rt△CBE，
∴===，
∴CD=8，
在Rt△CBE中，設BE=x，
∴（x+8）²=x²+12²，
解得x=5．
即BE的長為5．
點評：本題考查了切線的判定與性質：過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線；也考查了圓周角定理的推論以及三角形相似的判定與性質．