Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，∠D=60°，以AB為直徑作⊙O，已知AB=10，AD=m．
（1）求O到CD的距離（用含m的代數式表示）；
（2）若m=6，通過計算判斷⊙O與CD的位置關系；
（3）若⊙O與線段CD有兩個公共點，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于四邊形ABCD是平行四邊形，因此O到CD的距離和A到CD的距離相同．
因此可過A作CD的垂線，在構建的直角三角形中，用AD的長和∠D的余弦函數即可求出所求的距離；
（2）判定⊙O與CD的位置，比較O到CD的距離和⊙O半徑的大小即可；
（3）設線段BC與圓O的交點為E（B點除外），如果CD與圓有兩個公共點，必須滿足的條件是：O到CD的距離小于半徑的長并且要保證C點在E點的左側．
可先求出E、C重合時，O到CD的距離．
連接AE易知：BE=2.5，然后過E作AB的垂線，同（1）可求出這個距離的長，由此可得出m的取值范圍．
解答：解：（1）根據平行線間的距離相等，則O到CD的距離即為A到CD的距離．
根據∠D=60°，AD=m，得O到CD的距離是；
（2）當m=6時，=＞5，故相離；
（3）若⊙O與線段CD有兩個公共點，則該圓和線段CD相交，則5≤m＜．
點評：本題考查平行四邊形的性質以及直線與圓的位置關系．
要注意的是（3）題所求的是線段CD與⊙O有兩個公共點，不要當做直線CD來求解．