Question

如圖，以M（-5，0）為圓心、4為半徑的圓與x軸交于A、B兩點，P是⊙M上異于A、B的一動點，直線PA、PB分別交y軸于C、D，以CD為直徑的⊙N與x軸交于E、F，則EF的長（ ）

A．等于4
B．等于4
C．等于6
D．隨P點位置的變化而變化

Answer 1

【答案】分析：連接NE，設圓N半徑為r，ON=x，則OD=r-x，OC=r+x，證△OBD∽△OCA，推出OC：OB=OA：OD，即（r+x）：1=9：（r-x），求出r²-x²=9，根據垂徑定理和勾股定理即可求出答案．
解答：解：連接NE，
設圓N半徑為r，ON=x，則OD=r-x，OC=r+x，
∵以M（-5，0）為圓心、4為半徑的圓與x軸交于A、B兩點，
∴OA=4+5=9，0B=5-4=1，
∵AB是⊙M的直徑，
∴∠APB=90°（直徑所對的圓周角是直角），
∵∠BOD=90°，
∴∠PAB+∠PBA=90°，∠ODB+∠OBD=90°，
∵∠PBA=∠OBD，
∴∠PAB=∠ODB，
∵∠APB=∠BOD=90°，
∴△OBD∽△OCA，
∴=，
即=，
（r+x）（r-x）=9，
r²-x²=9，
由垂徑定理得：OE=OF，OE²=EN²-ON²=r²-x²=9，
即OE=OF=3，
∴EF=2OE=6，
故選C．
點評：本題考查了勾股定理，垂徑定理，相似三角形的性質和判定的應用，解此題的關鍵是求出OE=OF和r²-x²=9，主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力．