Question

已知關于x的方程x²-kx+k-1=0．
（1）求證：無論k取什么實數值，這個方程總有實數根；
（2）當k=3時，△ABC的每條邊長恰好都是方程x²-kx+k-1=0的根，求△ABC的周長．

Answer 1

分析：（1）先計算△得到△=k²-4k+4=（k-2）²，根據非負數的性質得到（k-2）²≥0，即△≥0，然后根據△的意義即可得到結論；
（2）把k=3代入方程得到x²-3x+2=0，利用因式分解法可解得x₁=2，x₂=1，由于△ABC的每條邊長恰好都是方程x²-kx+k-1=0的根，則△ABC的三邊為2、2、2或1、1、1或2、2、1，然后分別計算周長．

解答：（1）證明：△=k²-4k+4=（k-2）²，
∵（k-2）²≥0，即△≥0，
∴無論k取什么實數值，方程總有實數根；

（2）解：當k=3時，方程變形為x²-3x+2=0，解得x₁=2，x₂=1，
△ABC的三邊為2、2、2或1、1、1或2、2、1，
所以△ABC的周長為6或3或5．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了解一元二次方程．