Question

如圖，AD是△ABC的角平分線，以點C為圓心，CD為半徑作圓交BC的延長線于點E，交AD于點F，交AE于點M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．
（1）求證：點F是AD的中點；
（2）求cos∠AED的值；
（3）如果BD=10，求半徑CD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AD是△ABC的角平分線，∠B=∠CAE，易證得∠ADE=∠DAE，即可得ED=EA，又由ED是直徑，根據直徑所對的圓周角是直角，可得EF⊥AD，由三線合一的知識，即可判定點F是AD的中點；
（2）首先連接DM，設EF=4k，df=3k，然后由勾股定理求得ED的長，繼而求得DM與ME的長，由余弦的定義，即可求得答案；
（3）易證得△AEC∽△BEA，然后由相似三角形的對應邊成比例，可得方程：（5k）²=k•（10+5k），解此方程即可求得答案．
解答：（1）證明：∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠1=∠2，
∵∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3，
∴∠ADE=∠DAE，
∴ED=EA，
∵ED為⊙O直徑，
∴∠DFE=90°，
∴EF⊥AD，
∴點F是AD的中點；

（2）解：連接DM，
設EF=4k，df=3k，
則ED==5k，
∵AD•EF=AE•DM，
∴DM===k，
∴ME==k，
∴cos∠AED==；

（3）解：∵∠B=∠3，∠AEC為公共角，
∴△AEC∽△BEA，
∴AE：BE=CE：AE，
∴AE²=CE•BE，
∴（5k）²=k•（10+5k），
∵k＞0，
∴k=2，
∴CD=k=5．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、圓周角定理、等腰三角形的判定與性質、勾股定理以及三角函數等知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想與方程思想的應用．