Question

（2012•遂溪縣一模）如圖，直線AB經過⊙O上的點C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直線OB于E、D，連EC，CD
（1）試猜想直線AB于⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）求證：BC²=BD•BE；
（3）若tan∠CED=

1

2

，⊙O的半徑為3，求△OAB的面積．

Answer 1

分析：（1）連接OC，根據OA=OB，CA=CB，可以證明OC⊥AB，利用切線的判定定理，經過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，得到AB是⊙O的切線；
（2）根據ED是直徑，直徑所對的圓周角是直角，以及圓的切線垂直于過切點的半徑，利用等量代換得到∠E=∠BCD，又∠B公共，可以證明△BCD∽△BEC，然后利用相似三角形的性質，對應線段的比相等得到BC²=BD•BE．
（3）根據△BCD∽△BEC，得BD與BC的比例關系，最后由切割線定理列出方程求出OA的長．在直角三角形AOC中，由勾股定理求得AC邊的長度；最后由三角形的面積公式即可求得△OAB的面積．

解答：（1）解：直線AB是⊙O的切線．理由如下：
如圖，連接OC．
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB．
又∵OC是⊙O的半徑，
∴AB是⊙O的切線；

（2）證明一：∵ED是⊙O的直徑，
∴∠ECD=90°（直徑所對的圓周角是直角），
∴∠E+∠EDC=90°（直角三角形的兩個銳角互余）．
又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，
∴∠BCD=∠E．
又∵∠CBD=∠EBC，
∴△BCD∽△BEC．
∴

BC

BE

=

BD

BC

，
∴BC²=BD•BE；
證明二：由（1）知，BC是⊙O的切線．
∵BDE是⊙O的割線，
∴BC²=BD•BE；

（3）∵tan∠CED=

1

2

，
∴

CD

EC

=

1

2

．
由（2）知，△BCD∽△BEC，則

BC

BE

=

BD

BC

=

1

2

，
∴BC=2BD．
設BD=x，BC=2x．又BC²=BD•BE，∴（2x）²=x•（x+6），
解得x₁=0，x₂=2，
∵BD=x＞0，
∴BD=2，
∴OA=OB=BD+OD=3+2=5．
在Rt△OAC中，OA=5，OC=3，則根據勾股定理求得AC=4．
∴AB=2AC=8，
∴S_△OAB=

1

2

AB•OC=

1

2

×8×3=12，即△OAB的面積是12．

點評：本題考查了圓的綜合題．其中涉及到的知識點有：
①切線的判定，例如：第（1）題，是利用等腰三角形底邊上的中線也是底邊上的高，得到OC⊥AB，證明AB是⊙O的切線；
②相似三角形的判定與性質．例如：第（2）題，是根據題意證明兩個三角形相似，利用相似三角形的性質，得到線段BC，BD和BE的數量關系；
③三角形的面積公式；
④等腰三角形的性質．