Question

【題目】我們定義：有一組對角為直角的四邊形叫做“對直角四邊形”．如圖1，四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，則四邊形ABCD是“對直角四邊形”．

（1）“對角線相等的對直角四邊形是矩形”是______命題；（填“真”或“假”）

（2）如圖2，在對直角四邊形ABCD中，∠DAB＜90°，AD+CD=AB+BC．試說明△ADC的面積與△ABC的面積相等；

（3）如圖3，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，過AB的中點D作射線DP∥AC，交BC于點O，∠BDP與∠ADP的角平分線分別交BC，AC于點E、F．

①圖中是“對直角四邊形”的是______；

②當OP的長是______時，四邊形DEPF為對直角四邊形．

Answer 1

【答案】（1）真；（2）見解析；（3）①四邊形ECFD；②當OP=2時，四邊形DEPF是“對直角四邊形”．

【解析】

（1）是真命題．證明A，B，C，D四點共圓，證明AC是直徑即可解決問題．

（2）利用勾股定理以及完全平方公式進行計算，即可證明．

（3）①結論：四邊形ECFD 是“對直角四邊形”．根據角平分線的定義，得到∠EDF=90°，即可得到答案；

②如圖3中，當OP=2時，四邊形DEPF是“對直角四邊形”．找到證明三角形全等的條件，得到△EDB≌△EDP，即可證明∠EPF=90°，即可得到答案．

（1）解：結論：真．

理由：如圖1-1中，

∵∠BAD=∠BCD=90°，

∴A，B，C，D四點共圓，

∴BD是⊙O的直徑，

∵AC=BD，

∴AC也是⊙O的直徑，

∴∠ADC=∠ABC=90°，

∴四邊形ABCD是矩形．

故答案為：真．

（2）證明：如圖2中，

∵四邊形ABCD是對直角四邊形，∠DAB＜90°，

∴∠D=∠B=90°，

∴AD2+DC2=AC2，AB2+BC2=AC2，

∴AD2+DC2=AB2+BC2，

∵AD+DC=AB+BC

∴（AD+DC）2=（AB+BC）2，

即：AD2+2ADDC+DC2=AB2+2ABBC+BC2，

∴2ADDC=2ABBC，

∴ADDC=ABBC，

即：S△ADC=S△ABC．

（3）①結論：四邊形ECFD是“對直角四邊形”．

理由：如圖3中，

∵DE平分∠BDP，DF平分∠ADP，

∴∠EDP=∠BDP，∠FDP=∠ADP，

∴∠EDF=（∠BDP+∠ADP）=90°，

∵∠C=90°，

∴四邊形ECFD是“對直角四邊形”．

故答案為：四邊形ECFD．

②如圖3中，當OP=2時，四邊形DEPF是“對直角四邊形”．

理由：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=8，AC=6，

∴AB==10，

∵BD=AD=5，DP∥AC，

∴OB=OC，

∴OD=AC=3，

∵OP=2，

∴DP=5，

∵∠PDF=∠DFA=∠ADF，

∴AD=AF=5，

∴DP=AF，DP∥AF，

∴四邊形ADPF是平行四邊形，

∴∠A=∠DPF，

∵DP=DB，DE=DE，∠EDB=∠EDP，

∴△EDB≌△EDP（SAS），

∴∠DPE=∠B，

∴∠EPF=∠DPE+∠DPF=∠B+∠A=90°，

∵∠EDF=90°，

∴四邊形DEPF是“對直角四邊形”．

故答案為：2．