Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，OA=OB，△OAB的面積是2．

（1）求線段OB的中點C的坐標．

（2）連結AC，過點O作OE⊥AC于E，交AB于點D．

①直接寫出點E的坐標．

②連結CD，求證：∠ECO=∠DCB；

（3）點P為x軸上一動點，點Q為平面內一點，以點A.C.P.Q為頂點作菱形，直接寫出點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）線段OB的中點C的坐標為：（-1，0）；（2）①點E坐標為：（-，）；②詳見解析；（3）點Q的坐標為：（0，-2）.（-，2）.（，2），（-，2）

【解析】

（1）由OA=OB，△OAB的面積是2，可求得OB的長度，由C為OB中點，即可得C點坐標；

（2）①過點E作EF⊥OB，由，設EF=x，借助勾股定理即可求解；②過點B作OB的垂線，交OE的延長線于點G，先證△AOC≌△OBG，再證△BGD≌△BCD，再根據等量代換可證；

（3）以點C和點A 為圓心，以為半徑作圓和作AC的垂直平分線分情況討論求解即可．

解：（1）∵OA=OB，△OAB的面積是2．

∴OAOB=2，

∴OA=OB=2，

∴線段OB的中點C的坐標為：（-1，0），

（2）①過點E作EF⊥OB，

∵∠AOC=90°，OA=2，OC=1，

∴AC=，

∵OE⊥AC，由面積法得：OE===，

∵∠EOF+∠AOE=∠EAO+∠AOE=90°，

∴∠EOF=∠EAO，

∴tan∠EOF=tan∠EAO=，設EF=x，則OF=2x，

∴由勾股定理得：，

解得：x=，2x=，

∴點E坐標為：（-，）．

②證明：過點B作OB的垂線，交OE的延長線于點G，由（2）①可知，∠EOF=∠EAO，

∴在△AOC和△OBG中，

∴△AOC≌△OBG（ASA），

∴∠ECO=∠BGD，BG=OC，

∵C為線段OB的中點，

∴BG=BC，

∵OA=OB，∠AOC=∠OBG=90°，

∴∠GBD=∠CBD=45°，

∴在△BGD和△BCD中，

∴△BGD≌△BCD（SAS）

∴∠DCB=∠BGD，

又∠ECO=∠BGD，

∴∠ECO=∠DCB．

（3）∵AC=，

∴以點A為圓心，以為半徑作圓，與x軸可得一個交點P1（1，0），從而得Q1（0，-2）；

∴以點C為圓心，以為半徑作圓，與x軸可得兩個交點P2（-，0），P3（，0），從而得Q2（-，2），Q3（，2），

由tan∠ACO=2，可知，

當以AC為菱形的對角線時，AC被另一條對角線垂直平分，

，從而另一條對角線P4Q4的一半為，從而P4C=，

∴P4（，0），Q4（-，2）

綜上，點Q的坐標為：（0，-2）．（-，2）．（，2），（-，2）．