Question

如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，以OB為半徑的⊙O的圓心在邊AB上，⊙O與AB相交于點E，與AC相切于點D，已知AD=8，CD=12
（1）求BC及AB的長
（2）求證DE∥OC
（3）求半徑OB及線段AE的長
（4）求OC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據切線長定理得到BC=CD=12；在Rt△ABC中，根據勾股定理可計算出AB；
（2）⊙O與AB相交于點B，與AC相切于點D，根據切線的性質得到OB⊥BC，OD⊥AC，易證得Rt△OBC≌Rt△ODC，則∠BOC=∠DOC，再利用三角形外角性質得到∠BOD=∠ODE+∠OED，而∠ODE=∠OED，則∠BOC=∠OED，根據平行線的判定即可得到結論；
（3）易證Rt△AOD∽Rt△ACB，則OD：BC=AD：AB，即OD：8=12：16，可得到OD=6，即可得到OB，由AE=AB-2OB可計算出AE的長；
（4）在Rt△OBC中利用勾股定理即可計算出OC的長．
解答：解：（1）∵⊙O與AB相交于點B，與AC相切于點D，
∴BC=CD=12；
在Rt△ABC中，AC=AD+CD=8+12=20，BC=12，
∴AB==16，（2）∵⊙O與AB相交于點B，與AC相切于點D，
∴OB⊥BC，OD⊥AC，
而OB=OD，CD=CB，
∴Rt△OBC≌Rt△ODC，
∴∠BOC=∠DOC，
又∵∠BOD=∠ODE+∠OED，∠ODE=∠OED，
∴∠BOC=∠OED，
∴DE∥OC；
（3）∵∠A公共，∠ADB=∠ABC=90°，
∴Rt△AOD∽Rt△ACB，
∴OD：BC=AD：AB，即OD：8=12：16，
∴OD=6，
∴OB=6，
∴AE=AB-2OB=16-2×6=4；
（4）在Rt△OBC中，
OC²=OB²+BC²，
∴OC==6．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質：有兩組對應角分別相等的兩三角形相似；相似三角形對應邊的比相等．也考查了切線的性質、平行線的判定以及勾股定理．