Question

已知：如圖，△ABC中，AB=6，AC=8，M為AB上一點（M不與點A、B重合），MN∥BC交AC于點N．
（1）當△AMN的面積是四邊形MBCN面積的2倍時，求AM的長；
（2）若∠A=90°，在BC上是否存在點P，使得△MNP為等腰直角三角形？若存在，請求出MN的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據MN∥BC，證得△AMN∽△ABC，再由相似三角形的面積之比等于相似比的平方，求得AM的長；
（2）由∠A=90°，AB=6，AC=8，可得出BC和BC邊上的高，再分三種情況：①當MN是腰，∠PMN=90°時；②當MN是腰，∠MNP=90°時；③當MN是底，∠MPN=90°時，分別求得MN的長即可．
解答：解：（1）∵MN∥BC
∴△AMN∽△ABC（1分）∴
∵△AMN的面積是四邊形MBCN面積的2倍，
∴，
∴，
∴．（2分）
又∵AB=6，
∴．（3分）

（2）∵∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴，
BC邊上的高．（4分）
①當MN是腰，∠PMN=90°時（如圖1），設MP=MN=x，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴，
解得，即；（5分）
②當MN是腰，∠MNP=90°時（如圖2）
同理可得；（6分）
③當MN是底，∠MPN=90°時（如圖3），設MN=x
過點P作PQ⊥MN于Q，
∵PM=PN，
∴．
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴，
解得，即．（7分）
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、勾股定理以及直角三角形的性質，特別注意第三問要用到分類討論思想．