Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，O、D分別為AB、AC上的點，經過A、D兩點的⊙O分別交于AB、AC于點E、F，且BC與⊙O相切于點D．
（1）求證：=；
（2）當AC=2，CD=1時，求⊙O的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，由BC為圓O的切線，得到OD垂直于BC，再由AC垂直于BC，得到OD與AC平行，利用兩直線平行得到一對內錯角相等，再由OA=OD，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到AD為角平分線，利用相等的圓周角所對的弧相等即可得證；
（2）連接ED，在直角三角形ACD中，由AC與CD的長，利用勾股定理求出AD的長，由（1）得出的兩個圓周角相等，及一對直角相等得到三角形ACD與三角形ADE相似，由相似得比例求出AE的長，進而求出圓的半徑，即可求出圓的面積．
解答：（1）證明：連接OD，
∵BC為圓O的切線，
∴OD⊥CB，
∵AC⊥CB，
∴OD∥AC，
∴∠CAD=∠ODA，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠OAD，
則=；
（2）解：連接ED，
在Rt△ACD中，AC=2，CD=1，
根據勾股定理得：AD=，
∵∠CAD=∠OAD，∠ACD=∠ADE=90°，
∴△ACD∽△ADE，
∴=，即AD²=AC•AE，
∴AE=，即圓的半徑為，
則圓的面積為．
點評：此題考查了切線的性質，圓周角定理，相似三角形的判定與性質，以及勾股定理，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．