Question

（2012•樂山模擬）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的平分線交于點D，DE⊥BC于點E，DF⊥AC于點F．
（1）求證：四邊形CFDE是正方形；
（2）若AC=3，BC=4，求△ABC的內切圓半徑．

Answer 1

分析：（1）利用矩形的判定得出四邊形CFDE是矩形，再利用角平分線的性質得出DF=DE，即可得出矩形OECF是正方形；
（2）根據切線長定理可得：CE=CF=

1

2

（AC+BC-AB），由此可求出r的長即可．

解答：（1）證明：如圖1，過點D作DN⊥AB于點N，
∵∠C=90°，DE⊥BC于點E，DF⊥AC于點F，
∴∠C=∠DEC=∠DFC=90°，
∴四邊形CFDE是矩形，
∵∠A、∠B的平分線交于點D，DE⊥BC于點E，DF⊥AC于點F，DN⊥AB于點N，
∴DE=DN，DN=DF，
∴DF=DE，
∴矩形CFDE是正方形；

（2）解：如圖2，
在Rt△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4；
根據勾股定理AB=

AC2-BC2

=5；
由切線長定理，得：AN=AF，BN=BE，CE=CF；
∴CE=CF=

1

2

（AC+BC-AB）；
即：r=

1

2

（3+4-5）=1．

點評：此題主要考查了正方形的判定以及矩形的判定和直角三角形的內切圓半徑求法，利用切線長定理求出內切圓半徑是解題關鍵．