Question

若自然數(shù)n的全部正約數(shù)之積好等于n⁴，則稱n為“佳數(shù)”，1999以內且不能被2，3，5整除的佳數(shù)的個數(shù)是（　�。�

A、7

B、8

C、9

D、≥10

Answer 1

分析：由自然數(shù)1的全部正約數(shù)之積好等于n⁴=1，可得1是“佳數(shù)”，又由自然數(shù)n的全部正約數(shù)之積好等于n⁴，可得n為三個質數(shù)的積，由不是被2，3，5整除的質數(shù)有7，11，13，17，19，23，29…，又由1999以內，分析求解即可求得答案．

解答：解：∵自然數(shù)1的全部正約數(shù)之積好等于n⁴=1，
∴1是“佳數(shù)”，
設n=abc（a，b，c為質數(shù)），
∴n的全部正約數(shù)有：1，a，b，c，ab，ac，bc，abc，
∴1×a×b×c×ab×ac×bc×abc=（abc）⁴=n⁴，
∵自然數(shù)n的全部正約數(shù)之積好等于n⁴，
∴n為三個質數(shù)的積，
∵不能被2，3，5整除，
∴質數(shù)有：7，11，13，17，19，23，29…
∵符合要求的有：901=7×11×13，1001=7×11×17，1463=7×11×19，1771=7×11×23，1547=7×13×17，1729=7×13×19．
∴1999以內且不能被2，3，5整除的佳數(shù)的有：1，901，1001，1463，1771，1547，1729共7個．
故選A．

點評：此題考查了正約數(shù)的知識與數(shù)的整除性問題．此題難度較大，解題的關鍵是是分析求得自然數(shù)n的全部正約數(shù)之積好等于n⁴，則n為三個質數(shù)的積．