Question

（2010•潮陽區模擬）如圖1，點A、B是雙曲線y=（k＞0）上的點，分別經過A、B兩點向x軸、y軸作垂線段AC、AD、BE、BF，AC和BF交于點G，得到正方形OCGF（陰影部分），且S_陰影=1，△AGB的面積為2．

（1）求雙曲線的解析式；
（2）在雙曲線上移動點A和點B，上述作圖不變，得到矩形OCGF（陰影部分），點A、B在運動過程中始終保持S_陰影=1不變（如圖2），則△AGB的面積是否會改變？說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于正方形OCGF的面積是1，得出OC=CG=1，即點A的橫坐標為1，點B縱坐標為1．由點A、B是雙曲線y=上的點，得出點A的縱坐標與點B的橫坐標都是k，從而可用含k的代數式表示AG，BG，再根據△AGB的面積為2，列出關于k的方程，求解即可；
（2）由于△AGB的面積=AG•BG，所以本題即求AG•BG的值是否為一個常數．為此，設矩形OCGF的邊OC=m，則點A的橫坐標為m，由S_陰影=OC•OF=1，可知OF=，即點B縱坐標為．然后由點A、B是雙曲線y=上的點，得出點A的縱橫坐標與點B的橫坐標，從而可用含m的代數式表示AG，BG，進而求出AG•BG的值，從而得出結果．
解答：解：（1）∵四邊形OCGF是正方形，
∴OC=CG=GF=OF，∠CGF=90°，
∵OC²=S_陰影=1，
∴OC=CG=GF=OF=1，
∴點A的橫坐標為1，點B縱坐標為1．
∵點A、B是雙曲線y=上的點，
∴點A的縱坐標為y=，點B橫坐標為x=，
∴AC=k，BF=k，
∴AG=k-1，BG=k-1．
∵∠AGB=∠CGF=90°，
∴S_△AGB=AG•BG=²=2，
解得k=3（取正值）．
∴反比例函數的解析式為y=；

（2）點A、B在運動過程中△AGB的面積保持不變．
理由如下：
設矩形OCGF的邊OC=m．
∵S_陰影=OC•OF=1，∴OF=．
∴點A的橫坐標為m，點B縱坐標為．
∵點A、B是雙曲線y=上的點，
∴點A的縱橫坐標為y=，點B橫坐標為．
∴AC=，BF=3m．
又FG=OC=m，CG=OF=，
∴AG=AC-CG=-=，BG=BF-FG=3m-m=2m，
∴S_△AGB=AG•BG=••2m=2．
∴點A、B在運動過程中△AGB的面積保持不變．
點評：本題考查了反比例函數的圖象的性質以及正方形、矩形的性質，利用形數結合解決此類問題，是非常有效的方法．