Question

如圖，在正方形ABCD中，E是CD邊的中點，AC與BE相交于點F，連接DF．
（1）在不增加點和線的前提下，直接寫出圖中所有的全等三角形；
（2）連接AE，試判斷AE與DF的位置關系，并證明你的結論；
（3）延長DF交BC于點M，試判斷BM與MC的數量關系．（直接寫出結論）

Answer 1

分析：根據正方形的性質得到相關的條件找出全等的三角形：△ADE≌△ABC，△ADF≌△ABF，△ADC≌△ABC，
△CDF≌△CBF；利用全等的關系求出∠AHD=90°，得到AE⊥DF；同時可判定BM=MC．

解答：解：（1）△ADF≌△ABF，△ADC≌△ABC，△CDF≌△CBF．

（2）AE⊥DF．
證明：設AE與DF相交于點H．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAF=∠BAF．
又∵AF=AF，
∴△ADF≌△ABF．
∴∠1=∠2．
又∵AD=BC，∠ADE=∠BCE=90°，DE=CE，
∴△ADE≌△BCE．
∴∠3=∠4．
∵∠2+∠4=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠AHD=90°．
∴AE⊥DF．

（3）∵∠ADE=90°，AE⊥DF．
∴∠1+∠5=90°，∠3+∠1=90°．
∴∠3=∠5，
∵∠3=∠4，
∴∠4=∠5．
∵DC=BC，∠DCM=∠BCE=90°，
∴△DCM≌△BCE．
∴CE=CM，
又∵E為CD中點，且CD=CB，
∴CE=

1

2

CD=

1

2

BC，
∴CM=

1

2

CB，即M為BC中點，
∴BM=MC．

點評：主要考查了正方形的性質和全等三角形的判定．充分利用正方形的特殊性質來找到全等的條件從而判定全等后利用全等三角形的性質解題．