Question

（1）問題探究

如圖1，分別以△ABC的邊AC與邊BC為邊，向△ABC外作正方形ACD₁E₁和正方形BCD₂E₂，過點C作直線KH交直線AB于點H，使∠AHK=∠ACD₁作D₁M⊥KH，D₂N⊥KH，垂足分別為點M，N.試探究線段D₁M與線段D₂N的數量關系，并加以證明.

（2）拓展延伸

①如圖2，若將“問題探究”中的正方形改為正三角形，過點C作直線K₁H₁，K₂H₂，分別交直線AB于點H₁，H₂，使∠AH₁K₁=∠BH₂K₂=∠ACD₁.作D₁M⊥K₁H₁，D₂N⊥K₂H₂，垂足分別為點M，N.D₁M=D₂N是否仍成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由.

②如圖3，若將①中的“正三角形”改為“正五邊形”，其他條件不變.D₁M=D₂N是否仍成立？（要求：在圖3中補全圖形，注明字母，直接寫出結論，不需證明）

圖1                    圖2                       圖3

（第25題圖）

Answer 1

解：（1）D₁M=D₂N.……………………………………………………………………1分

證明：∵∠ACD₁=90°，

∴∠ACH+∠D₁CK=90°

∵∠AHK=∠ACD₁=90°，

∴∠ACH+∠HAC=90°

∴∠D₁CK=∠HAC………………………………………………………………………2分

∵AC=CD₁，

∴△ACH≌△CD₁M

∴D₁M=CH.………………………………………………………………………………3分

同理可證D₂N=CH

∴D₁M=D₂N.……………………………………………………………………………4分

（2）①證明：D₁M=D₂N成立.………………………………………………………5分

過點C作CG⊥AB，垂足為點G.

∵∠H₁AC+∠ACH₁+∠AH₁C=180°，

∠D₁CM+∠ACH₁+∠ACD₁=180°，

∠AH₁C=∠ACD₁，

∴∠H₁AC=∠D₁CM.……………………………………………………………………6分

∵AC=CD₁，∠AGC=∠CMD₁=90°，

∴△ACG≌△CD₁M.

∴CG=D₁M.………………………………………………………………………………7分

同理可證CG=D₂N.

∴D₁M=D₂N.……………………………………………………………………………8分

②作圖正確.……………………………………………………………………………9分

D₁M=D₂N還成立.……………………………………………………………………10分

圖1                    圖2                        圖3