Question

某商店經營兒童益智玩具，已知成批購進時的單價是20元．調查發現：銷售單價是30元時，月銷售量是230件，而銷售單價每上漲1元，月銷售量就減少10件，但每件玩具售價不能高于40元．設每件玩具的銷售單價上漲了x元時（x為正整數），月銷售利潤為y元．
（1）求y與x的函數關系式并直接寫出自變量x的取值范圍．
（2）每件玩具的售價定為多少元時，月銷售利潤恰為2520元？
（3）每件玩具的售價定為多少元時可使月銷售利潤最大？最大的月利潤是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意知一件玩具的利潤為（30+x-20）元，月銷售量為（230-10x），然后根據月銷售利潤=一件玩具的利潤×月銷售量即可求出函數關系式．
（2）把y=2520時代入y=-10x²+130x+2300中，求出x的值即可．
（3）把y=-10x²+130x+2300化成頂點式，求得當x=6.5時，y有最大值，再根據0＜x≤10且x為正整數，分別計算出當x=6和x=7時y的值即可．
解答：解：（1）根據題意得：
y=（30+x-20）（230-10x）=-10x²+130x+2300，
自變量x的取值范圍是：0＜x≤10且x為正整數；

（2）當y=2520時，得-10x²+130x+2300=2520，
解得x₁=2，x₂=11（不合題意，舍去）                        
當x=2時，30+x=32（元）
答：每件玩具的售價定為32元時，月銷售利潤恰為2520元．

（3）根據題意得：
y=-10x²+130x+2300
=-10（x-6.5）²+2722.5，
∵a=-10＜0，
∴當x=6.5時，y有最大值為2722.5，
∵0＜x≤10且x為正整數，
∴當x=6時，30+x=36，y=2720（元），
當x=7時，30+x=37，y=2720（元），
答：每件玩具的售價定為36元或37元時，每個月可獲得最大利潤，最大的月利潤是2720元．
點評：本題主要考查了二次函數的實際應用，解題的關鍵是分析題意，找到關鍵描述語，求出函數的解析式，用到的知識點是二次函數的性質和解一元二次方程．