Question

已知如圖1，線段AB、CD相交于點O,連結AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”. 那么在這一個簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學知識呢？下面就請你發(fā)揮聰明才智，解決以下問題：

1.在圖1中，請寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關系,并說明理由；

2.仔細觀察，在圖2中“8”字形”的個數(shù)       個；

3.在圖2中，若∠D=40⁰,∠B=36⁰，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N.利用（1）的結論，試求∠P的度數(shù)；

4.如果圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關系．（直接寫出結論即可）。

 

Answer 1

 

1.∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，∠AOD=∠BOC，

∴∠A+∠D=∠C+∠B；     (2分)

2.①線段AB、CD相交于點O，形成“8字形”；

②線段AN、CM相交于點O，形成“8字形”；

③線段AB、CP相交于點N，形成“8字形”；

④線段AB、CM相交于點O，形成“8字形”；

⑤線段AP、CD相交于點M，形成“8字形”；

⑥線段AB、CD相交于點O，形成“8字形”；

故“8字形”共有6個；      (2分)     （寫到3個得1分）

3.∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，①

∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，②     

∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，

∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，

①+②得：

∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，

即2∠P=∠D+∠B，                        

又∵∠D=50°，∠B=40°  ∴2∠P=50°+40°，

∴∠P=45°；

4.關系：2∠P=∠D+∠B．

解析:∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關系根據(jù)這四個角分別是兩個三角形的內(nèi)角，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理就可以得到．根據(jù)以上的結論，以及角平分線的定義就可以求出∠P的度數(shù)．