Question

如圖，在△ABC中，點P是AC邊上的一個動點（異于A、C兩點），過點P作PD∥AB交BC于點D，過點P作PE∥BC交AB于點E．
（1）求證：

AE

BE

=

BD

DC

；
（2）若△PAE、△PCD的面積分別為4、9，求

AP

AC

的值．

Answer 1

分析：（1）有平行線可得對應線段的比值相等：

AE

BE

=

AP

PC

和

AP

PC

=

BD

DC

，問題得證．
（2）若兩三角形相似，則面積比等于相似比的平方，根據這一性質可先求的△PAE與△PCD相似，進而求得

AP

AC

的值．

解答：（1）證明：∵PE∥BC，
∴

AE

BE

=

AP

PC

，
∵PD∥AB，
∴

AP

PC

=

BD

DC

，
∴

AE

BE

=

BD

DC

；

（2）解：∵PE∥BC，PD∥AB，
∴∠APE=∠C，∠A=∠DPC，
∴△AEP∽△PDC，
∴

S△AEP

S△PDC

=(

AP

PC

)2，
即

4

9

=(

AP

PC

)2，
∴

AP

PC

=

2

3

，
∴

AP

AC

=

2

5

．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質，常用的相似判定方法有：平行線，AA，SAS，SSS；常用到的性質：對應角相等；對應邊的比值相等；面積比等于相似比的平方．