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在平面直角坐標系xOy中,已知關于x的二次函數y=x2+(k-1)x+2k-1的圖象與x軸交于A、B兩點(點A在點B左側),與y軸交于點C,其中k是一元二次方程p2-p-2=0的根,且k<0.
(1)求這個二次函數的解析式及A、B兩點的坐標;
(2)若直線l:y=mx(m≠0)與線段BC交于點D(點D不與點B、C重合),則是否存在這樣的直線l,使得以B、O、D為頂點的三角形與△ABC相似?若存在,求出該直線的解析式及點D的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)由一元二次方程的解可知K值,從而可得二次函數的解析式,當y=0時,所得x的值就是A,B兩點橫坐標.
(2)準確運用二次函數的圖象和性質,結合相似三角形對應線段的比例關系,可求出D點的坐標.
解答:解:(1)∵k是方程p2-p-2=0的根,
∴k=-1,或k=2.
又k<0,
∴k=-1.
∴此二次函數的解析式為:y=x2-2x-3.
令y=0得x1=-1,x2=3
∵點A在點B的左側
∴A(-1,0),B(3,0).

(2)假設滿足條件的直線l存在
過點D作DE⊥x軸于點E
∵點A的坐標為(-1,0),點B的坐標為(3,0),點C的坐標為(0,-3)
∴AB=4,OB=OC=3,∠OBC=45°
∴BC=
要使以B、O、D為頂點的三角形與△ABC相似,已有∠OBD=∠ABC,
則只需①,或②成立即可.
①當
有BD=
在Rt△BDE中,
DE=BD•sin45°=,BE=BD•cos45°=
∴OE=OB-BE=3-=
∵點D在x軸的下方,
∴點D的坐標為().
將點D的坐標代入l:y=mx(m≠0)中,求得m=-3
∴滿足條件的直線l的函數解析式為y=-3x.

②當
有BD=
同理可得:BE=DE=2,OE=OB-BE=3-2=1
∵點D在x軸下方
∴點D的坐標為(1,-2).
將點D的坐標代入y=mx(m≠0)中,求得m=-2
∴滿足條件的直線l的函數解析式為y=-2x.
∴綜上所述滿足條件的直線l的解析式是:y=-3x或y=-2x;
點D的坐標為()或(1,-2).
點評:本題要求數形結合,靈活運用相似三角形的判定定理,求出D點坐標,然后求出直線解析式.綜合性較強,需要學生有較強的分析理解能力.
練習冊系列答案
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(1)求此拋物線的解析式;
(2)設此拋物線與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側),與y軸交于C 點,D是線段BC上一點(不與點B、C重合),若以B、O、D為頂點的三角形與△BAC相似,求點D的坐標;
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(2)設E是y軸右側拋物線上異于點B的一個動點,過點E作x軸的平行線交拋物線于另一點F,過點F作FG垂直于x軸于點G,再過點E作EH垂直于x軸于點H,得到矩形EFGH.則在點E的運動過程中,當矩形EFGH為正方形時,求出該正方形的邊長;
(3)在拋物線上是否存在異于B、C的點M,使△MBC中BC邊上的高為7
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?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.

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在平面直角坐標系xOy中,已知A(2,-2),B(0,-2),在坐標平面中確定點P,使△AOP與△AOB相似,則符合條件的點P共有
5
5
個.

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如圖,在平面直角坐標系xOy中,A(2,1)、B(4,1)、C(1,3).與△ABC與△ABD全等,則點D坐標為
(1,-1),(5,3)或(5,-1)
(1,-1),(5,3)或(5,-1)

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