Question

（2012•上海模擬）已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點E、F分別是邊BC、CD的中點，直線EF交邊AD的延長線于點M，交邊AB的延長線于點N，連接BD．
（1）求證：四邊形DBEM是平行四邊形；
（2）連接CM，當四邊形ABCM為平行四邊形時，求證：MN=2DB．

Answer 1

分析：（1）首先根據三角形中位線定理可得EF∥BD，再有條件AD∥BC，可根據兩邊互相平行的四邊形是平行四邊形，可判定四邊形DBEM是平行四邊形；
（2）首先根據平行線分線段成比例定理可得

BN

CM

=

BE

CE

，再根據BE=CE，可得BN=CM，進而得到AB=BN，再由EF∥BD，可得

DB

MN

=

AB

AN

，進而得到MN=2DB．

解答：證明：（1）∵點E、F分別是邊BC、CD的中點，
∴EF∥BD，
又∵AD∥BC，
∴四邊形DBEM是平行四邊形；

（2）∵四邊形ABCM為平行四邊形，
∴AB=CM，AB∥CM，
∴

BN

CM

=

BE

CE

，
∵BE=CE，
∴BN=CM，
∴AB=BN，
∵EF∥BD，
∴

DB

MN

=

AB

AN

．
∴MN=2DB．

點評：此題主要考查了三角形中位線定理，以及平行四邊形的判定、平行線分線段成比例定理，關鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理：
定理1：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．
定理2：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．
定理3：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例．