Question

如圖，在菱形ABCD中，E是AB邊上一點，且∠A=∠EDF=60°，有下列結論：①AE=BF；②△DEF是等邊三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE=∠BEF，其中結論正確的個數是（　　）

A．3

B．4

C．1

D．2

Answer 1

分析：首先連接BD，易證得△ADE≌△△BDF，然后可證得DE=DF，即可得△DEF是等邊三角形，然后可證得∠ADE=∠BEF．

解答：解：連接BD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠ADB=

1

2

∠ADC，AB∥CD，
∵∠A=60°，
∴∠ADC=120°，∠ADB=60°，
同理：∠DBF=60°，
即∠A=∠DBF，
∴△ABD是等邊三角形，
∴AD=BD，
∵∠ADE+∠BDE=60°，∠BDE+∠BDF=∠EDF=60°，
∴∠ADE=∠BDF，
∵在△ADE和△BDF中，

∠ADE=∠BDF AD=BD ∠A=∠DBF

，
∴△ADE≌△△BDF（ASA），
∴DE=DF，
∵∠EDF=60°，
∴△EDF是等邊三角形，
∴②正確；
∴∠DEF=60°，
∴∠AED+∠BEF=120°，
∵∠AED+∠ADE=180°-∠A=120°，
∴∠ADE=∠BEF；
故④正確．
∵∠ADE=∠BDF，
同理：∠BDE=∠CDF，
但∠ADE不一定等于∠BDE，
∴AE不一定等于BE，
故①錯誤；
∵△ADE≌△△BDF，
∴AE=BF，
同理：BE=CF，
但BE不一定等于BF．
故③錯誤．
故選D．

點評：此題考查了菱形的性質、等邊三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質．此題難度較大，注意掌握數形結合思想的應用．