Question

5．如圖在⊙O中，AB為直徑，過OB的中點D作CD⊥AB交⊙O于C，M為CD的中點，且CD=$\sqrt{3}$，連接AM并延長交⊙O于N．
（1）求∠ANC的大��；
（2）求弦CN的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，根據已知條件得到OD=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$OC，根據三角形的內角和得到∠COD=60°，由鄰補角的定義得到∠AOC=120°，于是得到∠ANC=$\frac{1}{2}$∠AOC=60°，；
（2）連接AC，由的第三輪得到OC=$\sqrt{O{D}^{2}+C{D}^{2}}$=2，AM=$\sqrt{A{D}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{10}$，根據相似三角形的性質即可得到結論．

解答 解：（1）連接OC，
則OC=OB，
∵D是OB的中點，
∴OD=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$OC，
∵CD⊥AB，
∴∠CDO=90°，
∴∠OCD=30°，
∴∠COD=60°，
∴∠AOC=120°，
∴∠ANC=$\frac{1}{2}$∠AOC=60°，；
（2）連接AC，
∴OC=$\sqrt{O{D}^{2}+C{D}^{2}}$=2，
∴OD=1，
∴AD=3，
∴AC=2$\sqrt{3}$，
∴AM=$\sqrt{A{D}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵∠CAO=∠ACO=30°，
∴∠ACD=60°，
∴∠ACD=∠N，
∵∠CAM=∠NAC，
∴△ACM∽△ANC，
∴$\frac{AC}{AM}$=$\frac{CN}{CM}$，即$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$=$\frac{CN}{1}$，
∴CN=$\frac{\sqrt{30}}{5}$．

點評 本題考查了勾股定理，解直角三角形，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．