Question

如圖，已知⊙O的直徑AB垂直于弦CD于E，連接AD、BD、OC、OD，且OD=5．
（1）若

BD

AB

=

3

5

，求CD的長．
（2）若∠ADO：∠EDO=4：1，求扇形OAC（陰影部分）的面積．
（3）若將（2）中扇形卷成一個圓錐，則此圓錐的側面積．

Answer 1

分析：（1）首先根據銳角三角函數求得直角三角形ABC的兩條直角邊，再根據勾股定理得出DE的長，進一步根據垂徑定理計算弦長；
（2）可設∠ADO=4x，∠EDO=x，根據OA=OD，則∠OAD=∠ODA=4x，求出由AB垂直CD，得：4x+4x+x=90°，求出x，進而得出∠AOC的度數，利用扇形面積公式求出即可；
（3）根據圓錐的側面積等于扇形OAC（陰影部分）的面積即可得出答案．

解答：解：（1）∵半徑OD=5，則直徑AB=10，
∴

BD

AB

=

BD

10

=

3

5

，則BD=6，
∴若設OE=x，則BE=5-x，由勾股定理可得：BD²-BE²=DO²-0E²
從而列方程：6²-（5-x）²=5²-x²，
解得x=

7

5

，
由勾股定理可得：DE=

24

5

，
由垂徑定理可得CD=

48

5

；

（2）∵∠ADO：∠EDO=4：1，則可設∠ADO=4x，∠EDO=x，
又∵OA=OD，則∠OAD=∠ODA=4x，
由AB⊥CD，得：4x+4x+x=90°，
∴x=10°，
∴∠ADE=50°，則∠AOC=100°，
∴扇形OAC（陰影部分）的面積=

100π×52

360

=

125

18

π；

（3）∵圓錐的側面積等于扇形OAC（陰影部分）的面積，
∴S_側=πrl=

125

18

π．

點評：此題主要考查了圓的綜合題，綜合考查了解直角三角形、陰影部分面積等相關知識．正確利用圓錐側面積與扇形面積關系求出是解題關鍵．