Question

已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，點M是CE的中點，連接BM．

(1)如圖①，點D在AB上，連接DM，并延長DM交BC于點N，可探究得出BD與BM的數量關系為________；

(2)如圖②，點D不在AB上，(1)中的結論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)BD＝BM．　2分 　　(2)結論成立． 　　證明：連接DM，過點C作CF∥ED，與DM的延長線交于點F，連接BF， 　　可證得△MDE≌△MFC．　3分 　　∴DM＝FM，DE＝FC． 　　∴AD＝ED＝FC． 　　作AN⊥EC于點N． 　　由已知∠ADE＝90°，∠ABC＝90°， 　　可證得∠1＝∠2，∠3＝∠4．　4分 　　∵CF∥ED，∴∠1＝∠FCM． 　　∴∠BCF＝∠4＋∠FCM＝∠3＋∠1＝∠3＋∠2＝∠BAD． 　　∴△BCF≌△BAD．　5分 　　∴BF＝BD，∠5＝∠6． 　　∴∠DBF＝∠5＋∠ABF＝∠6＋∠ABF＝∠ABC＝90°． 　　∴△DBF是等腰直角三角形．　6分 　　∵點M是DF的中點， 　　則△BMD是等腰直角三角形． 　　∴BD＝BM．　7分 　　(說明：以上答案僅供參考，若有不同解法，只要過程和解法都正確，可相應給分．)