Question

如圖，將一三角板放在邊長為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點P在對角線AC上滑動，直角的一邊始終經過點B，另一邊與射線DC相交于Q．
探究：設A、P兩點間的距離為x．
（1）當點Q在邊CD上時，線段PQ與PB之間有怎樣的數量關系？試證明你的猜想；
（2）當點Q在邊CD上時，設四邊形PBCQ的面積為y，求y與x之間的函數關系，并寫出函數自變量x的取值范圍；
（3）當點P在線段AC上滑動時，△PCQ是否可能成為等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成為等腰三角形的點Q的位置．并求出相應的x值，如果不可能，試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）PQ=PB，過P點作MN∥BC分別交AB、DC于點M、N，可以證明Rt△MBP≌Rt△NPQ；
（2）S_{四邊形PBCQ}=S_△PBC+S_△PCQ分別表示出△PBC于△PCQ的面積就可以．
（3）△PCQ可能成為等腰三角形．①當點P與點A重合時，點Q與點D重合，PQ=QC，
②當點Q在DC的延長線上，且CP=CQ時，就可以用x表示出面積．
解答：解：（1）PQ=PB，（1分）
過P點作MN∥BC分別交AB、DC于點M、N，
在正方形ABCD中，AC為對角線，
∴AM=PM，
又∵AB=MN，
∴MB=PN，
∵∠BPQ=90°，
∴∠BPM+∠NPQ=90°；
又∵∠MBP+∠BPM=90°，
∴∠MBP=∠NPQ，
在Rt△MBP≌Rt△NPQ中，
∵
∴Rt△MBP≌Rt△NPQ，（2分）
∴PB=PQ．

（2）∵S_{四邊形PBCQ}=S_△PBC+S_△PCQ，
∵AP=x，
∴AM=x，
∴CQ=CD-2NQ=1-x，
又∵S_△PBC=BC•BM=•1•（1-x）=-x，
S_△PCQ=CQ•PN=（1-x）•（1-x），
=-+，
∴S_{四邊形PBCQ}=-x+1．（0≤x≤）．（4分）

（3）△PCQ可能成為等腰三角形．
①當點P與點A重合時，點Q與點D重合，
PQ=QC，此時，x=0．（5分）
②當點Q在DC的延長線上，且CP=CQ時，（6分）
有：QN=AM=PM=x，CP=-x，CN=CP=1-x，CQ=QN-CN=x-（1-x）=x-1，
∴當-x=x-1時，x=1．（7分）．
點評：此題主要考查正方形及直角三角形的性質及全等三角形的判定方法的綜合運用．