Question

（2001•天津）已知：在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4cm，AB=8cm，D、E、F分別為AB、AC、BC邊上的中點．若P為AB邊上的一個動點，PQ∥BC，且交AC于點Q，以PQ為一邊，在點A的異側作正方形PQMN，記正方形PQMN與矩形EDBF的公共部分的面積為y．
（1）如圖，當AP=3cm時，求y的值；
（2）設AP=xcm，試用含x的代數式表示y（cm²）；
（3）當y=2cm²時，試確定點P的位置．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據AP的長，求出PQ的值，然后看看正方形與矩形是否重合，若重合求出重合部分的線段的長，然后根據矩形的面積計算公式進行求解即可．
（2）要分四種情況進行討論：
①當N在D點或D點左側時，當正方形PQMN的邊MN與矩形EDBF的邊ED重合時，利用相似三角形的性質可得出x=，即0＜x≤時，此時正方形與矩形沒有重合，因此y=0；
②當N在D點右側，而P點在D點左側或與D點重合時，即＜x≤4，此時正方形與矩形重合的面積應該是以DN為長，NM為寬的矩形，DN=PN-PD=PN-（AD-AP）=x-（4-x）=x-4．而NM=PQ=x，因此重合部分的面積應該是y=（x-4）×x=x²-2x；
③當P在D點右側，而N點在B點左側或與B點重合時，即4＜x≤時，此時正方形重合部分的面積應該是以正方形邊長為長，DE為寬的矩形的面積，PN=x，DE=2，因此此時重合部分的面積是y=x×2=x；
④當P在B左側時，而N點在AB延長線上時，即＜x＜8時，此時重合部分的面積應該是以DE長為寬，PA長為長的矩形的面積．BP=AB-AP=8-x，BF=DE=2，因此此時重合部分的面積應該是y=（8-x）×2=16-2x．
（3）將y=2代入（2）的式子中，看看求出的x哪個符合條件即可．
解答：解：（1）由于D是AB中點，因此DE是△ABC的中位線，AD=BD=4cm，DE=2cm，
Rt△APQ中，AP=3cm，因此PQ=AP•tanA=3×=1.5cm，
DN=AN-AD=AP+PN-AD=3+1.5-4=0.5，因此重合部分的面積應該是y=DN×MN=1.5×0.5=0.75cm²；

（2）當0＜x≤，y=0；
當＜x≤4，y=，
當4＜x≤，y=x；
當＜x＜8，y=16-2x；

（3）當＜x≤4時，如果y=2，2=，解得x=或x=（舍去）；
當4＜x≤時，如果y=2，x=2，也不符合題意，
當＜x＜8時，如果y=2，2=16-2x，解得x=7，因此當AP=7cm時，y=2cm²．
∴當x=7cm或x=cm時，y=2cm²．
點評：本題主要考查了直角三角形的性質，正方形的性質，中位線定理以及解直角三角形的應用等知識點，要注意（2）（3）中，正方形的位置不同時，函數解析式是不同的，要分類討論，不要漏解．