Question

如圖，已知點A(-4，8)和點B(2，n)在拋物線上．

 (1)　求a的值及點B關于x軸對稱點P的坐標，并在x軸上找一點Q，使得AQ+QB最短，求出點Q的坐標；

 (2)　平移拋物線，記平移后點A的對應點為A′，點B的對應點為B′，點C(-2，0)和點D(-4，0)是x軸上的兩個定點．

①　當拋物線向左平移到某個位置時，A′C+CB′ 最短，求此時拋物線的函數解析式；

②　當拋物線向左或向右平移時，是否存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短？若存在，求出此時拋物線的函數解析式；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

解：(1) 將點A(-4，8)的坐標代入，解得．

將點B(2，n)的坐標代入，求得點B的坐標為(2，2)，

則點B關于x軸對稱點P的坐標為(2，-2)．

直線AP的解析式是．  

令y=0，得．即所求點Q的坐標是(，0)．

(2)①　解法1：CQ=-2-=，

故將拋物線向左平移個單位時，A′C+CB′最短，此時拋物線的函數解析式為

解法2：設將拋物線向左平移m個單位，則平移后A′，B′的坐標分別為A′(-4-m，8)和B′(2-m，2)，點A′關于x軸對稱點的坐標為A′′(-4-m，-8)．

直線A′′B′的解析式為．  要使A′C+CB′最短，點C應在直線A′′B′上，

將點C(-2，0)代入直線A′′B′的解析式，解得．

故將拋物線向左平移個單位時A′C+CB′最短，此時拋物線的函數解析式為．

②　左右平移拋物線，因為線段A′B′和CD的長是定值，所以要使四邊形A′B′CD的周長最短，只要使A′D+CB′最短；

第一種情況：如果將拋物線向右平移，顯然有A′D+CB′>AD+CB，因此不存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短．

第二種情況：設拋物線向左平移了b個單位，則點A′和點B′的坐標分別為A′(-4-b，8)和B′(2-b，2)．

因為CD=2，因此將點B′向左平移2個單位得B′′(-b，2)，

要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短．

點A′關于x軸對稱點的坐標為A′′(-4-b，-8)，

直線A′′B′′的解析式為．要使A′D+DB′′最短，點D應在直線A′′B′′上，將點D(-4，0)代入直線A′′B′′的解析式，解得．

故將拋物線向左平移時，存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短，此時拋物線的函數解析式為．