Question

如圖，平行四邊形ABCD在平面直角坐標系中，AD=6，若OA、OB的長是關于x的一元二次方程x²-7x+12=0的兩個根，且OA＞OB．
（1）求的值．
（2）若E為x軸上的點，且S_△AOE=，求經過D、E兩點的直線的解析式，并判斷△AOE與△DAO是否相似？
（3）若點M在平面直角坐標系內，則在直線AB上是否存在點F，使以A、C、F、M為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出F點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）解一元二次方程求出OA，OB的長度，再利用勾股定理求出AB的長度，再代入計算即可；
（2）先根據三角形的面積求出點E的坐標，并根據平行四邊形的對邊相等的性質求出點D的坐標，然后利用待定系數法求解直線的解析式；分別求出兩三角形夾直角的兩對應邊的比，如果相等，則兩三角形相似，否則不相似；
（3）根據菱形的性質，分AC與AF是鄰邊并且點F在射線AB上與射線BA上兩種情況，以及AC與AF分別是對角線的情況分別進行求解計算．
解答：解：（1）x²-7x+12=0，
（x-3）（x-4）=0，
∴x-3=0，x-4=0，
解得x₁=3，x₂=4，
∵OA＞OB，
∴OA=4，OB=3，
在△AOB中，AB===5，
∴sin∠ABC==；

（2）根據題意，設E（x，0），則
S_△AOE=×OA×x=×4x=，
解得x=，
∴E（，0）或（-，0），
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴點D的坐標是（6，4），
設經過D、E兩點的直線的解析式為y=kx+b，
則①，
解得 ，
∴解析式為y=x-；
②，
解得，
解析式為：y=x+，
在△AOE與△DAO中，==，
==，
∴=，
又∵∠AOE=∠OAD=90°，
∴△AOE∽△DAO；

（3）根據計算的數據，OB=OC=3，
∴AO平分∠BAC，
①AC、AF是鄰邊，點F在射線AB上時，AF=AC=5，
所以點F與B重合，
即F（-3，0），
②AC、AF是鄰邊，點F在射線BA上時，M應在直線AD上，且FC垂直平分AM，
點F（3，8）．
③AC是對角線時，做AC垂直平分線L，AC解析式為y=-x+4，直線L過（，2），且k值為（平面內互相垂直的兩條直線k值乘積為-1），
L解析式為y=x+，聯立直線L與直線AB求交點，
∴F（-，-），
④AF是對角線時，過C做AB垂線，垂足為N，根據等積法求出CN=，勾股定理得出，AN=，做A關于N的對稱點即為F，AF=，過F做y軸垂線，垂足為G，FG=×=，
∴F（-，）．
綜上所述，滿足條件的點有四個：F₁（-3，0）；F₂（3，8）；F₃（-，-）；F₄（-，）．
點評：本題考查了解一元二次方程，相似三角形的性質與判定，待定系數法求函數解析式，綜合性較強，（3）求點F要根據AC與AF是鄰邊與對角線的情況進行討論，不要漏解．