Question

如圖，拋物線過點A（x₁，0）、B（x₂，0）、C（0，-8），x₁、x₂是方程x²-x-4=0的兩根，且x₁＞x₂，點D是此拋物線的頂點．
（1）求這條拋物線的表達式；
（2）填空：（1）問題中拋物線先向上平移3個單位，再向右平移2個單位，得到的拋物線是______；
（3）在第一象限內，問題（1）中的拋物線上是否存在點P，使S_△ABP=S_{四邊形ABCD}．

Answer 1

解：（1）設此拋物線的表達式為y=ax²+bx+c
由得（x-4）（x+2）=0
∵x₁＞x₂，
∴x₁=4，x₂=-2
∴點A的坐標為（4，0），點B的坐標為（-2，0）
∵拋物線經過點C（0，-8），
∴c=-8
又∵拋物線經過A、B兩點，
∴
解得：a=1，b=-2，
故設此拋物線的表達式為y=x²-2x-8；

（2）y=（x-3）²-6 或y=x²-6x+3；

（3）存在
由y=x²-2x-8得y=（x-1）²-9，
點D的坐標是（1，-9），
過點D作DE⊥x軸，垂足為E，設點P的坐標為（m，n），
∵S_{四邊形ABCD}=S_△OBC+S_梯形EOCD+S_△EAD===30…
又∵
∴，
∴n=2，
∵點P在拋物線上，
∴x²-2x-8=2，
解得：，（舍去）
故點P的坐標為（，2）．
分析：（1）設此拋物線的表達式為y=ax²+bx+c，令y=0，求出x的值，即可以求出點A和點B的坐標，列出a、b、c的方程組，求出a、b、c即可；
（2）根據平移“上加下減，左加右減”的規律進行作答；
（3）首先根據（1）求出的解析式求出D點的坐標，過點D作DE⊥x軸，垂足為E，設點P的坐標為（m，n），根據四邊形和三角形面積之間的關系，求出n的值，進而求出P點的坐標．
點評：本題主要考查二次函數的綜合題的知識，解答本題的關鍵是掌握二次函數的性質和平移的知識，特別是第三問需要弄清楚四邊形和三角形之間的面積關系，此題難度較大．