Question

如圖：水平地面上有一個球，現用如下方法測量球的表面積（球的表面積公式S=4πR²），用銳角∠BAC=60°的直角三角板的斜邊緊靠球面，P為切點，一條直角邊AC緊靠地面，并使三角板與地面垂直，如果測得PA=1m，則球的表面積等于

 

．

Answer 1

分析：連接OA，由AP與AD為圓O的切線，根據切線性質得到∠OPA與∠ODA都為直角，由∠BAC=60°，根據平角定義得到∠PAD為120°，再根據切線長定理得到∠OAP等于∠PAD的一半，得出∠OAP=60°，在直角三角形OAP中，根據銳角三角函數定義得出OP=APtan60°，進而求出OP的長，即為半徑R，代入球的表面積公式即可求出．

解答：解：連接OA，∵AB與AD都為圓O的切線，
∴∠OPA=90°，∠ODA=90°，
∵∠BAC=60°，∴∠PAD=120°，
∵PA、AD都是⊙O的切線，
∴∠OAP=

1

2

∠PAD=60°，
在Rt△OPA中，PA=1cm，tan60°=

OP

AP

，
則OP=APtan60°=

3

cm，即⊙O的半徑R為

3

cm．
則球的表面積S=4πR²=4π•(

3

)2=12π．
故答案為：12π

點評：此題考查了切線的性質，切線長定理，以及銳角三角函數，見了有切線，圓心切點連，構造直角三角形解決問題，其中切線長定理為：經過圓外一點引圓的兩條切線，切線長相等，且此點與圓心地連線平分兩切線的夾角，靈活運用此定理是本題的突破點．