Question

如圖，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，P為BC邊的中點，連接PM，PN，則下列結論：①PM=PN；②；③△PMN為等邊三角形；④當∠ABC=45°時，BN=PC．其中正確的個數是（ ）

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可判斷①正確；
先證明△ABM∽△ACN，再根據相似三角形的對應邊成比例可判斷②正確；
先根據直角三角形兩銳角互余的性質求出∠ABM=∠ACN=30°，再根據三角形的內角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，從而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形可判斷③正確；
當∠ABC=45°時，∠BCN=45°，由P為BC邊的中點，得出BN=PB=PC，判斷④正確．
解答：解：①∵BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，P為BC邊的中點，
∴PM=BC，PN=BC，
∴PM=PN，正確；

②在△ABM與△ACN中，
∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°，
∴△ABM∽△ACN，
∴，正確；

③∵∠A=60°，BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，
∴∠ABM=∠ACN=30°，
在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°-60°-30°×2=60°，
∵點P是BC的中點，BM⊥AC，CN⊥AB，
∴PM=PN=PB=PC，
∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，
∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，
∴∠MPN=60°，
∴△PMN是等邊三角形，正確；

④當∠ABC=45°時，∵CN⊥AB于點N，
∴∠BNC=90°，∠BCN=45°，
∴BN=CN，
∵P為BC邊的中點，
∴PN⊥BC，△BPN為等腰直角三角形
∴BN=PB=PC，正確．
故選D．
點評：本題主要考查了直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，相似三角形、等邊三角形、等腰直角三角形的判定與性質，等腰三角形三線合一的性質，仔細分析圖形并熟練掌握性質是解題的關鍵．