Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E、F分別在AB、BC、AC上，且BD=CE，BE=CF．
（1）求證：△DEF是等腰三角形；
（2）猜想：當∠A滿足什么條件時，△DEF是等邊三角形？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根據條件證明△DBE≌△ECF，根據全等三角形的性質可得DE=FE，進而可得到△DEF是等腰三角形；
（2）∠A=60°時，△DEF是等邊三角形，首先根據△DBE≌△ECF，再證明∠DEF=60°，可以證出結論．

解答：（1）證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△DBE和△ECF中，

BD=CE ∠B=∠C BE=CF

，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE=FE，
∴△DEF是等腰三角形；

（2）當∠A=60°時，△DEF是等邊三角形，
理由：∵△BDE≌△CEF，
∴∠FEC=∠BDE，
∴∠DEF=180°-∠BED-∠EFC=180°-∠DEB-∠EDB=∠B
要△DEF是等邊三角形，只要∠DEF=60°．
所以，當∠A=60度時，∠B=∠DEF=60，
則△DEF是等邊三角形．

點評：此題主要考查了等腰三角形的判定，等邊三角形的判定，關鍵是證明△DBE≌△ECF．