Question

若n是正整數(shù)，記1×2×3×…×n=n！，比如1！=1，4！=1×2×3×4=24，等等，若M=1！×2！×3！×4！×5！×6！×7！×8！×9！，則M的約數(shù)中是完全平方數(shù)的共有（　　）

A．504個

B．672個

C．864個

D．936個

Answer 1

∵M=1！×2！×3！×4！×5！×6！×7！×8！×9！，
∴M=1×2⁸×3⁷×4⁶×5⁵×6⁴×7³×8²×9¹，
M=2³⁰×3¹³×5⁵×7³，
因為每個平方數(shù)內(nèi)含有的每種質(zhì)因數(shù)的次數(shù)都是偶次的，
如25=5²，144=2⁴×3²，
所以2³⁰含有的平方數(shù)約數(shù)有2⁰、2²、2⁴…2³⁰共16個，
3¹³含有的平方數(shù)約數(shù)有3⁰、3²、3⁴…3¹²共7個，
5⁵含有的平方數(shù)約數(shù)有5⁰、5²、5⁴共3個，
7³含有的平方數(shù)約數(shù)有7⁰、7²共2個，
所以M含有平方數(shù)約數(shù)為16×7×3×2=672，
故選B．