Question

在直角坐標系中，O是原點，A、B、C三點的坐標分別為A（18，0），B（18，8），C（6，8），四邊形OABC是梯形，點P、Q同時從原點出發，分別做勻速運動，其中點P沿OA向終點A運動，速度為每秒2個單位，點Q沿OC、CB向終點B運動，速度為每秒3個單位，當這兩點有一點到達自己的終點則另一點也停止運動，設從出發起，運動了t秒．
①求直線OC的解析式．
②試寫出點Q的坐標，并寫出此時t的取值范圍．
③從運動開始，梯形被直線PQ分割后的圖形中是否存在平行四邊形，若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由．
④t為何值時，直線PQ把梯形OCBA分成面積為1：7的兩部分？

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法根據點O、點C的坐標就可以求出直線的解析式．
（2）分Q在OC上，和在CB上兩種情況進行討論．利用直線OC的解析式就可以求出Q點在OC上和CB上的坐標．即0≤t≤5和5＜t≤10兩種情況．
（3）當CQ=OP時，四邊形OPQC是平行四邊形，就可以表示出CQ=3t-10，OP=2t，由平行四邊形的性質就可以求出t的性質，然后根據t的取值范圍就可以確定值的存在性．
（4）直線PQ把梯形OCBA分成面積為1：7的兩部分從兩種情況進行計算．當五邊形CQPAB為7份時和四邊形BQPA為1份時分別計算出t的值就可以了．

解答：解：（1）設OC的解析式為y=kx+b，
∵O、C兩點的坐標分別為O（0，0），C（6，8），
∴

b=0 8=6k

，解得：k=

4

3

，b=0，
∴y=

4

3

x；
（2）當Q在OC上運動時，可設Q（m，

4

3

m），
依題意有：m²+（

4

3

m）²=（3t）²
∴m=

6

5

t，
∴Q（

9

5

t，

12

5

t），（0≤t≤

10

3

）
當Q在CB上時，Q點所走過的路程為3t，
∵OC=10，
∴CQ=3t-10，
∴Q點的橫坐標為3t-10+6=3t-4，
∴Q（3t-4，8），（

10

3

＜t≤

22

3

）．
（3）當四邊形OPQC是平行四邊形時，
∴CQ=OP．
∵CQ=3t-10，OP=2t，
∴3t-10=2t，
∴t=10．
∵t≤

22

3

，
∴不存在四邊形
當四邊形PABQ為平行四邊形時，
∴BQ=PA，
∵BQ=22-3t，PA=18-2t，
∴22-3t=18-2t，
∴t=4
（4）∵A（18，0），B（18，8），C（6，8），
∴OA=18，BC=12，AB=8，
∴S_{四邊形OABC}=

8(12+18)

2

=120
∵直線PQ把梯形OCBA分成面積為1：7，設兩部分的面積分別為x、7x，
∴x+7x=120，
∴x=15，
當

2t• 12 5 t

2

=15時，t=

5

2

，
當

8(3t-10+2t)

2

=120-15時，t=

29

4

．
綜上所述當t=

5

2

或t=

29

4

時直線PQ把梯形OCBA分成面積為1：7的兩部分．

點評：本題考查了直角梯形的性質，函數自變量的取值范圍，待定系數法求函數的解析式，三角形的面積，平行四邊形的判定，梯形的面積的運用．