Question

18世紀瑞士數學家歐拉證明了簡單多面體中頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）之間存在的一個有趣的關系式，被稱為歐拉公式．請你觀察下列幾種簡單多面體模型如圖1，解答下列問題：

多面體	頂點數（V）	面數（F）	棱數（E）
四面體	4	4
長方體	8		12
正八面體		8	12
正十二面體	20	12	30

（1）根據上面多面體模型，完成表格中的空格，你發現頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）之間存在的關系式是

V+F-E=2

．
（2）一個多面體的面數與頂點數相等，有12條棱，這個多面體是

7

面體
（3）圖2足球雖然是球體，但實際上足球表面是由正五邊形，正六邊形皮料組成的多面體加工而成每塊正五邊形皮料周圍都是正六邊形皮料；每兩個相鄰的多邊形恰有一條公共的邊；每個頂點處都有三塊皮料，而且都遵循一個正五邊形、兩個正六邊形的規律，請你利用（1）中的關系式，求出一個足球中各有多少塊正五邊形、正六邊形的皮料．

Answer 1

分析：（1）觀察可得頂點數+面數-棱數=2；
（2）代入（1）中的式子即可得到面數；
（3）設正五邊形x塊，正六邊形y塊，則由上面的規律數可以看出，棱數E=

1

2

（5x+6y），而頂點數V=

1

3

（5x+6y），有歐拉公式列出二元一次方程；再由足球表面中所有白皮的邊數6y是所有黑皮的邊數5x的2倍列出5x=6y×

1

2

；組成方程組解決問題．

解答：解：（1）四面體的棱數為6；正八面體的頂點數為6；關系式為：V+F-E=2；

（2）由題意得：F+F-12=2，
解得：F=7；

（3）設正五邊形x塊，正六邊形y塊，由題意得

x+y+ 1 3 (5x+6y)- 1 2 (5x+6y)=2 5x= 1 2 ×6y

解得

x=12 y=20

所以正五邊形為12塊，正六邊形為20塊．

點評：本題考查多面體的頂點數，面數，棱數之間的關系及靈活運用．