Question

如圖，在正方形ABCD中，點E是邊BA延長線上的一點，把△DCF繞點D按順時針方向旋轉后恰好與△DAE重合，且DC=

3

，∠CDF=30°．
（1）求DF的長度；
（2）求△DCF繞點D旋轉所掃過的面積．

Answer 1

分析：（1）在Rt△DCF中，DC=

3

，∠CDF=30°，解直角三角形，可求DF；
（2）△DCF繞點D旋轉所掃過的面積，實際上就是S_△DCF+S_扇形DEF．

解答：解：（1）在Rt△DCF中，DC=

3

，∠CDF=30°，cos∠CDF=

DC

DF

，
∴cos30°=

3

DF

，
∴DF=2；

（2）在Rt△DCF中，∠CDF=30°，由（1）得：DF=2，
∴CF=1，
∵∠EDF=90°，
∴S_扇形DEF=

90×π×22

360

=π，
∴△DCF繞點D旋轉所掃過的面積=S_△DCF+S_扇形DEF=

1

2

DC•CF+π=

1

2

×

3

×1+π=

3

2

+π．

點評：本題考查了解直角三角形的知識，同時又考查了線段繞其端點旋轉的圖形就是扇形，要求會用扇形面積公式．