Question

有下列4個命題：
①方程x²-（+）x+=0的根是和．
②在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．若AD=4，BD=，則CD=3．
③點P（x，y）的坐標x，y滿足x²+y²+2x-2y+2=0，若點P也在y=的圖象上，則k=-1．
④若實數b、c滿足1+b+c＞0，1-b+c＜0，則關于x的方程x²+bx+c=0一定有兩個不相等的實數根，且較大的實數根x₀滿足-1＜x₀＜1．
上述4個命題中，真命題的序號是________．

Answer 1

①②③④
分析：①利用因式分解法解一元二次方程即可；
②利用射影定理直接求出即可；
③利用配方法得出x，y的值，進而得出xy=k的值，即可得出答案；
④根據1+b+c＞0，1-b+c＜0，即x=1，x=-1時得出y的取值范圍，畫出圖象即可得出較大的實數根的取值范圍．
解答：解：①方程x²-（+）x+=0的根是和，此命題正確；
②在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．若AD=4，BD=，則CD=3．
由題意得出：CD ²=AD×BD，故此命題正確；
③∵點P（x，y）的坐標x，y滿足x²+y²+2x-2y+2=0，
∴（x+1）²+（y-1）²=0，
解得：x=-1，y=1，
∴xy=-1，
故點P也在y=的圖象上，則k=-1此命題正確；
④∵實數b、c滿足1+b+c＞0，1-b+c＜0，
∴y=x²+bx+c的圖象如圖所示，
∴關于x的方程x²+bx+c=0一定有兩個不相等的實數根，且較大的實數根x₀滿足-1＜x₀＜1，故此選項正確．
故答案為：①②③④．
點評：此題主要考查了射影定理即二次函數圖象與一元二次方程以及一元二次方程的解法和反比例函數的性質等知識，利用數形結合得出是解題關鍵．