Question

如圖是我國古代數學家楊輝最早發現的，稱為“楊輝三角”．它的發現比西方要早五百年左右，由此可見我國古代數學的成就是非常值得中華民族自豪的！“楊輝三角”中有許多規律，如它的每一行的數字正好對應了（a+b）ⁿ（n為非負整數）的展開式中a按次數從大到小排列的項的系數．例如，（a+b）²=a²+2ab+b²展開式中的系數1、2、1恰好對應圖中第三行的數字；再如，（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³展開式中的系數1、3、3、1恰好對應圖中第四行的數字．請認真觀察此圖，寫出（a+b）⁴的展開式，（a+b）⁴=________．

Answer 1

a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴
分析：由（a+b）=a+b，（a+b）²=a²+2ab+b²，（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³可得（a+b）ⁿ的各項展開式的系數除首尾兩項都是1外，其余各項系數都等于（a+b）^n-1的相鄰兩個系數的和，由此可得（a+b）⁴的各項系數依次為1、4、6、4、1．
解答：（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴．
故答案為：a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴．
點評：本題考查了完全平方公式，學生的觀察分析邏輯推理能力，讀懂題意并根據所給的式子尋找規律，是快速解題的關鍵．